戴德金分割

戴德金分割是一种通过精确说明哪些有理数位于某实数之下来确定该实数的方法。你把有理数轴干净利落地切成左右两块，而切口本身的位置就是你所命名的数，即便那里恰好没有任何有理数。

形式上，戴德金分割是一个有理数集合 A，它非空、不等于全体有理数、向下封闭（即若 q 属于 A 且 p 小于 q，则 p 属于 A），且没有最大元。每个这样的 A 都被规定为一个实数。有理数以“所有小于固定 q 的有理数”这一形式的分割嵌入其中，而实数上的序就是左块的集合包含关系。

这一由戴德金给出的构造从有理数造出实数，并把完备性证明出来而非假定它。最小上界性质几乎变得显然：给定一族有界的分割，它们左块的并本身就是一个分割，且正是它们的上确界。有理数在二的平方根处的缝隙，由“所有平方小于 2 的有理数连同所有负有理数”这一分割补上。

戴德金分割是实数两种经典构造之一，另一种是有理数柯西序列的等价类。两者在同构意义下给出同一对象，即唯一的完备有序域，所以采用哪种都无所谓；分割使序与完备性变得透明，而柯西序列使算术与度量完备性变得透明。