连续统

设想一把理想化的、完全没有缝隙的尺子：任意两个刻度之间还有无穷多个刻度，而且关键在于，没有任何一处“本应有刻度”却空缺的缺口。那把没有缝隙的尺子就是连续统——作为完备而不间断的量度模型的实数轴。

连续统就是实数集 R，连同其序与完备性：每个非空且有上界的集合都有最小上界。正是这种完备性填补了有理数留下的空洞——sqrt 2、pi 与 e 都是连续统上货真价实的点，尽管在 Q 中它们各自都是一个缺口。连续统就是这样一个家：极限若该存在，便确实存在于其中。

有两个事实赋予连续统以特性。它是稠密有序的（任意两个实数之间还有一个实数），同时又是完备的（没有缝隙），二者合起来正是有理数所缺的——Q 稠密却布满空洞。而且连续统是不可数的：由康托尔对角线论证，实数严格多于有理数，所以这条直线远比那些有名字（如分数）的点所能填满的要“厚”得多。