不可数集

不可数集是大到无法列举的无穷集——没有办法把它的元素枚举成一个以自然数为下标的序列，因为任何提议的清单都必然漏掉某物。不可数性揭示了无穷有不同的大小：在 N、Z、Q 的可数无穷之外，存在一个严格更大的无穷，其首要范例就是实数集。

严格地说，一个集合是不可数的，若它无穷却不与 N 的任何子集之间存在双射——等价地，不存在从 N 到它的满射。基准定理出自康托尔：区间 (0, 1)，从而整个 R，是不可数的。它的基数称为连续统的基数，严格大于自然数的基数。

不可数性在分析中是有分量的。由于 Q 可数而 R 不可数，“绝大多数”实数是无理数；事实上无理数不可数，而有理数构成一个测度为零的集合。同样的大小差距解释了为何不能仅靠对点求和来积分，以及为何需要测度论而非朴素计数来驾驭连续统。康托尔定理更进一步：任何集合的幂集都严格大于该集合，从而产生一座由越来越大的无穷叠成的无尽高塔。