基数

基数是集合“大小”的精确概念，它不靠点数，而靠通过函数进行的比较来定义。两个集合有相同基数，当它们之间存在双射时；一个集合的基数至多为另一个，当存在到后者的单射时。这一定义根本不需要任何数，故能从有限的汇集优雅地推广到无穷的汇集，而后者中寻常的点数已失效。

对有限集，基数就是元素的个数，|A| = n。对无穷集，它成为一个真正崭新的想法，并带来惊奇：自然数、整数与有理数都共享同一基数，记作 ℵ0（阿列夫零），是最小的无穷基数；而实数则有严格更大的连续统基数 c = 2^(ℵ0)。康托尔–施罗德–伯恩斯坦定理使我们安心：这一序关系表现合理：若两个集合各自单射进入对方，则它们基数相等。

康托尔定理表明基数攀升永无止境：对每个集合 A，其幂集的基数严格大于 A，故不存在最大的无穷。一个著名而悬而未决的微妙之处是连续统假设——是否有基数严格介于 ℵ0 与 c 之间——哥德尔与科恩证明它无法由标准公理证明或否证。在分析中，基数解释了为何有理数可以忽略（测度为零）而无理数填满了数轴。