双射

双射是同时为单射与满射的函数——两个集合之间一种完美、无损的配对，其中定义域的每个元素恰与陪域的一个元素相配，反之亦然。想象舞者的精确配对：无人没有舞伴（满射），也没有两人共用一个（单射）。既无遗漏，也无重复。

等价地，f : A → B 恰当它有双侧逆时为双射：存在函数 g : B → A 使对所有 x 有 g(f(x)) = x，对所有 y 有 f(g(y)) = y。这样一个逆的存在是最干净的刻画，而该逆自身自动也是双射。双射可以复合：两个双射的复合仍是双射。

双射是衡量大小的尺子。两个集合被说成有相同的基数，恰当它们之间存在一个双射，这一定义即便对无穷集也行得通，并带来惊奇——自然数与偶数之间、与有理数之间都有双射，但与实数之间没有（康托尔）。在分析中，区间之间保序的双射就是变量替换，是积分换元背后的引擎。