满射

函数 f : A → B 是满射，或称映上，当它的像填满整个陪域：B 的每个元素都被 A 中至少一个元素命中。用机器的话说，陪域所提供的每个可能输出值都确实被某个输入生成出来。B 中没有任何元素未被触及。

精确的表述是一个“对所有—存在”：对每个 y ∈ B 存在 x ∈ A 使 f(x) = y。要证满射性，你取陪域中任意目标 y，并给出（或证明存在）某个映到它的 x——常常是解方程 f(x) = y 求 x。满射性是所选陪域的性质，而不只是规则的性质：把陪域缩小到它的像，任何函数都会变成满射。

这正是为何指定陪域很要紧。由 f(x) = e^x 给出的 f : R → R 不是满射，因为负数与 0 从来不是输出；但同一规则下的 f : R → (0, ∞) 则是满射。满射性是可解性的存在那一半：“f 是满射”意味着“方程 f(x) = y 对每个 y 都有解”，这一观点贯穿于整个分析与方程理论。