介值定理

若你从低处连续地爬到高处,就必定经过其间的每一个高度——你无法越过某个海拔瞬移过去。介值定理把这件事精确化:区间上的连续函数,在它所取到的任意两个值之间不会跳过任何值。

确切地说:若 f 在闭区间 [a, b] 上连续,而 y 是严格介于 f(a) 与 f(b) 之间的任意数,则存在 c 属于 (a, b),使得 f(c) = y。这一结论牢牢依赖于连续性与实数的完备性——在有理数上它失效,因为数线上有缝隙可供穿过。

两点提醒。定理保证 c 的存在性,而非唯一性——这样的 c 可能有许多。而且它是一条单行道:一个函数可能取遍所有中间值却仍不连续(这种“达布性质”确实比连续性更弱)。一个著名应用:任何奇次实系数多项式都有实根,因为它从负无穷跑到正无穷,必定穿过零。