连续函数

连续函数是指在它所栖身之处处处连续的函数——在其定义域的每一个点上都连续。逐点连续是一种局部的承诺(这一个点表现良好),而成为连续函数则是一种整体陈述:该承诺在整个定义域上都成立。

形式上,当 f: D -> R 在 D 中每个点 a 处都连续时,它就是连续函数。用拓扑语言等价地说:每个开集的原像都是(相对于定义域的)开集。正是这种开集表述,使连续性的概念远远超出实直线,推广到没有任何 ε、δ 可言的度量空间与拓扑空间。

连续函数对日常运算是封闭的:连续函数的和、差、积、商(分母非零处)与复合仍是连续函数。一个常见陷阱是把“连续”一词套在限制了定义域的函数上——例如 1/x 在它的定义域(所有不等于 0 的 x)上是不折不扣的连续函数,尽管它在 0 附近“爆炸”,原因仅仅是 0 根本不属于其定义域。