拓扑学基础
连续映射（拓扑）
连续性是一种承诺：映射不把东西撕裂——起初彼此邻近的点，最终仍彼此邻近。在微积分里这是 epsilon–delta 的舞步，可距离恰恰是拓扑所抛弃的东西。精妙之处在于只用开集重新表述整个想法，使它在任何拓扑空间中都成立。
从空间 X 到空间 Y 的映射 f 是连续的，如果每个开集的原像都是开集：只要 V 在 Y 中是开集，那么映入 V 的全体点构成的集合 f逆(V) 在 X 中就是开集。等价地，每个闭集的原像都是闭集。注意方向——必须是开集的原像为开，而非开集的像为开；连续映射不必把开集映为开集。
这一条款在度量空间上恢复了我们熟悉的 epsilon–delta 定义，并遵守同样顺手的规则：恒等映射连续，连续映射的复合连续，常值映射连续。它之所以是正确的概念，正因为它只由拓扑空间唯一拥有的结构——即开集——构建而成。
从实直线到自身的映射 f(x) = x^2 是连续的：开区间 (1, 4) 的原像是 (-2, -1) ∪ (1, 2)，它是开集。但 f 并不把开集 (-1, 1) 映为开集——它的像是 [0, 1)，并非开集。连续性控制的是原像，而非像。
在 x^2 下开集的原像保持为开，但开集的像不必为开。
连续性可以是局部的：f 连续当且仅当它在每点都连续，而在 p 处连续意味着 f(p) 的每个邻域都有一个 p 的邻域映入其中。要检验连续性，只需检查基（甚至子基）元素的原像，而非所有开集。
又称
另见