函数极限的 ε-δ 定义

把它想成怀疑者与辩护者之间的一场谈判。怀疑者给出一个容差——输出必须落得离 L 多近。辩护者则必须回以一个对输入的容差——输入要离 a 多近才能保证做到这点。若辩护者总能应对任何挑战,极限便成立。ε 是怀疑者要求的输出容差,δ 是辩护者提供的输入容差。

形式上,lim_{x->a} f(x) = L 的意思是:对每个 ε > 0,都存在 δ > 0,使得对定义域中满足 0 < |x - a| < δ 的一切 x,都有 |f(x) - L| < ε。其中严格不等式 0 < |x - a| 有意地把 x = a 排除在外,从而编码了“极限忽略 a 处取值”这条规则。

量词的次序至关重要。ε 先给出,δ 再据此选取,因此 δ 可以(并且通常确实)依赖于 ε——ε 越小,δ 往往越小。若把次序颠倒、或让 δ 先出现,定义出的就是完全不同且通常不成立的东西。能流畅地读写这条定义,是迈入严格分析的门槛。