序列及其极限
epsilon-N 定义
正是这个定义把含糊的“各项逼近 L”变成连怀疑论者也无法抵赖的东西。想象一场挑战游戏：对手报出一个容差 epsilon，无论多么小，你都必须保证从某处起每一项都落在 L 的 epsilon 之内。若你总能应战，则极限为 L。
确切地说：a_n -> L 意味着对每个 epsilon > 0，都存在自然数 N，使得对一切 n > N 有 |a_n - L| < epsilon。拆解这些符号：epsilon 是所要求的接近程度，N 是保证开始生效的索引，而 |a_n - L| < epsilon 表示项 a_n 落在开区间 (L - epsilon, L + epsilon) 内。N 允许依赖于 epsilon——更小的容差通常需要等更久。
量词的顺序至关重要。它读作“对一切 epsilon，存在 N，对一切 n > N”；若把“对一切 epsilon”与“存在 N”对调，就会错误地要求单独一个 N 同时适用于每个容差。掌握这个定义——以及用于证明发散的它的否定形式——是严格分析的入门关卡，因为此后每一个极限概念都仿照它而建。
证明 1/n -> 0：给定 epsilon > 0，取 N 为任一满足 N > 1/epsilon 的整数。则当 n > N 时有 |1/n - 0| = 1/n < 1/N < epsilon。对每个 epsilon 挑战都被应下，故极限为 0。
一个教科书式的 epsilon-N 证明：用 epsilon 明确给出 N，再验证不等式。
严格不等号可以无害地放松：“对一切 n >= N”或“|a_n - L| <= epsilon”定义的是完全相同的极限。不可放松的是量词的顺序。
又称
另见