序列的极限

把序列的各项想象成一根接一根落在数轴上的图钉。对某些序列而言，这些图钉越来越紧密地聚拢在某一点周围，以致从某处之后，几乎所有图钉都落在你围绕该点画出的任意小窗口之内。那个目标点就是极限：当你不断往后走时，各项任意逼近的那个值。

若序列 (a_n) 的各项最终进入并停留在 L 的任意给定容差之内，我们就说该序列以 L 为极限，记作 a_n -> L 或 lim a_n = L。关键词是“进入并停留”：偶尔造访 L 附近并不够；从某个索引起，各项必须一直保持接近。下一词条给出这一思想精确的 epsilon-N 表述。

极限若存在，则唯一——一个序列不可能同时逼近两个不同的值。但存在性并无保证：许多序列根本没有极限。诚实地区分“极限为 L”与“极限不存在”，是严格分析的首要功夫之一，这也是为什么非正式的“逼近”一词终究必须被精确定义所取代。