序列

想象一排没有尽头的编号座位，每个座位恰好对应一个号码：第一个、第二个、第三个，如此永远排下去。序列正是如此——一个有序的、永不终止的数值清单，每个自然数对应一项。与可以完整写出的有限清单不同，序列有第一项却没有最后一项。

严格地说，实数序列是一个从自然数到实数的函数 a，记为 a: N -> R。我们通常把第 n 个索引处的值写作 a_n 而非 a(n)，并把整个序列记为 (a_n) 或 (a_1, a_2, a_3, ...)。索引 n 只是记录位置的标签；顺序至关重要，且允许重复，因此序列与其取值构成的集合并不相同。

整个分析学的研究由此发端，因为几乎所有的极限过程——级数的收敛、连续性、导数、积分——都可以用某个恰当序列在索引趋于无穷时的行为来表述。切勿把序列（一个有序的无穷清单）与级数（这样一个清单的求和）混为一谈；二者是用同样的原料造出的不同对象。