无穷级数

设想你要把无穷多个数一个接一个地加起来，并追问这个累加的总和最终是否会稳定到某一个值。这个不断累积的总和正是无穷级数的核心。你并不是一口气把无穷多项加完，而是观察前一项的和、前两项的和、前三项的和，依此类推，并追问它们究竟趋向何处。

严格地说，给定一个实数（或复数）序列 a_1, a_2, a_3, ...，无穷级数记作 sum a_n。它的含义完全由部分和序列 s_N = a_1 + a_2 + ... + a_N 来定义。若序列 s_N 在通常极限意义下收敛到 S，则称该级数收敛到 S；否则称该级数发散。因此级数本身并不是一个数——它是一个符号，可能命名其部分和的极限，也可能根本不命名任何数。

有一点值得明说：符号 sum a_n 同时承载两层含义。它既表示这个形式对象（即生成部分和的法则），又在收敛时表示所得的极限值。许多对有限和而言自动成立的操作——重排各项、对各项分组、两个级数相乘——若没有额外假设，对无穷级数可能失效或改变结果。