几何级数

几何级数是这样一种和：每一项都是前一项的固定倍数——你一遍又一遍地用同一个比率去缩放。若该比率使每一项都趋向零，那么这无尽的和便会稳定下来；若不然，和就会失控。

具体地，几何级数形如 a + a r + a r^2 + a r^3 + ... = sum a r^n，其中 a 是首项，r 是公比。当 r 不等于 1 时，其部分和有封闭形式 s_N = a (1 - r^{N+1}) / (1 - r)。当 N -> 无穷时，恰当 |r| < 1 才有 r^{N+1} -> 0，由此得到著名公式：当 |r| < 1 时 sum_{n=0}^无穷 a r^n = a / (1 - r)。若 |r| >= 1（且 a 非零），级数发散。

几何级数是收敛论的主力：比较判别法、比值判别法与根值判别法都隐含地以它为标尺来衡量其他级数，而且它是少数几个能给出精确封闭和的级数之一。当 |r| < 1 时它的快速衰减，也是许多近似的误差估计的基础。