收敛级数

收敛级数是指其无尽的累加确实落到了某处：当你纳入越来越多的项时，累加的总和趋向一个确定的有限数，而不是漂向无穷或永远振荡。这个数称为该级数的和。

确切地说，当级数 sum a_n 的部分和序列 s_N = a_1 + ... + a_N 满足 lim s_N = S 且 S 有限时，称该级数收敛到 S。按序列极限的 epsilon 定义，这意味着：对每个 epsilon > 0，存在 N_0，使得对一切 N >= N_0 有 |s_N - S| < epsilon。等价地，按柯西准则，级数收敛当且仅当其尾段一致地变小——对每个 epsilon > 0，存在 N_0，使得当 n > m >= N_0 时 |a_{m+1} + ... + a_n| < epsilon。

收敛级数遵循一套干净的代数：若 sum a_n = A 与 sum b_n = B 收敛，则 sum (a_n + b_n) = A + B 且 sum (c a_n) = cA。但要当心——sum a_n 收敛迫使 a_n -> 0，然而其逆命题不成立；调和级数的各项趋于零却仍发散。收敛是关于部分和的论断，而不仅仅关乎单个项的大小。