部分和

既然你无法一次把无穷多个数全部加完，那就在某个阶段停下，只把已有的加起来。在前 N 项之后停下所得的结果，就是第 N 个部分和。随着 N 增大，这些快照刻画了加法的进程，而整个级数的命运，正由这些快照的走向所决定。

确切地说，对级数 sum a_n，第 N 个部分和为 s_N = a_1 + a_2 + ... + a_N，这是一个完全普通的有限和，因此对每个 N 都是一个真正的数。这些部分和构成一个序列 (s_N)，而级数收敛当且仅当此序列有有限极限。因此从技术上说，研究级数就是研究由各项所构造出的这一个特定序列。

一个有用的恒等式联系起两种视角：a_N = s_N - s_{N-1} 可由相邻部分和还原出每一项。这正是为何级数与其部分和序列编码了完全相同的信息，只是包装方式不同——一个以增量呈现，另一个以累积总和呈现。