裂项级数

裂项级数是其各项被刻意写成差的级数，于是当你把它们加起来时，几乎一切都相消——就像一架可折叠的单筒望远镜滑动闭合，只剩下两端。中间的项成相邻成对地湮灭，部分和便简化为只含首项与最后幸存项的一个简洁表达式。

形式上，设对某序列 b_n 有 a_n = b_n - b_{n+1}。则部分和裂项相消：s_N = (b_1 - b_2) + (b_2 - b_3) + ... + (b_N - b_{N+1}) = b_1 - b_{N+1}。因此级数 sum a_n 收敛当且仅当 b_{N+1} 在 N -> 无穷时有极限，且当其有极限时，和等于 b_1 - lim b_N。这把关于级数的收敛问题直接化为关于辅助序列 b_n 的极限问题。

裂项是少数几种能得到精确和、而不仅是收敛结论的情形之一，因此在例题与推导封闭形式时备受珍视。技巧在于识别或构造出这种差的结构，常借助部分分式；并非每个级数都能裂项，但许多教科书里的和暗中都能。