发散级数

发散级数是指其无尽的累加始终不落到任何有限值上。累加的总和可能奔向正无穷、坠向负无穷，或永远来回摆动而绝不趋近——在每种情形里，都没有任何单一的数使部分和趋向它。

严格地说，sum a_n 发散，当且仅当其部分和序列 (s_N) 不具有有限极限。这把伞涵盖了几种迥异的行为：发散到 +无穷（1 + 1 + 1 + ... 的部分和）、发散到 -无穷，以及根本没有极限的振荡发散（1 - 1 + 1 - 1 + ... 的部分和在 1 与 0 之间交替）。它们都被称为发散，尽管图景大相径庭。

有时一个发散级数仍可经由某种求和法（切萨罗法、阿贝尔法等）被赋予一个值，这类方法对部分和作平均或平滑；在切萨罗求和下，1 - 1 + 1 - 1 + ... 被赋值为 1/2。这类赋值并不与通常意义下的发散相矛盾——它们是刻意削弱了的求和概念，自有其用处，但与部分和的极限并非一回事。