发散到无穷

有些序列不收敛，不是因为摇摆，而是因为冲出图表顶端——它们增长超过你愿意指出的任何数且一去不返。这种特殊而井然有序的发散称为发散到无穷，尽管该序列没有有限极限，其行为却如此规整，以致我们写 a_n -> +无穷。

确切地说，a_n -> +无穷 意味着对每个实数 M 都存在索引 N，使得对一切 n > N 有 a_n > M。换言之：无论你把横杆 M 设得多高，序列最终都越过它并停留在其上方。对称地，若对每个 M 都存在 N 使得对一切 n > N 有 a_n < M，则 a_n -> -无穷。这仿照了 epsilon-N 定义，以“超过 M”代替“在 epsilon 之内”。

一个微妙却重要的要点：发散到 +无穷 的序列是发散的，而非收敛的——符号 +无穷 是增长模式的简写，并非有限极限，写 a_n -> +无穷 并不意味着序列收敛。在扩充实数系中可把 +无穷 当作真正的极限点，但在标准实分析中“收敛”一词专留给有限极限。因此发散到无穷是发散的一种有结构的特例，与混乱的振荡判然有别。