有界序列

有界序列是其各项绝不越出一个固定围栏的序列。无论你读到序列多深处，每一项都待在某个下限与某个上限之间。它不必安顿下来——只是不许逃向正无穷或负无穷。

正式地说，若存在实数 M > 0 使得对一切 n 有 |a_n| <= M，则称 (a_n) 有界。等价地，所有项都落在区间 [-M, M] 内。这可拆为有上界（存在上界：对一切 n，a_n <= U）与有下界（存在下界：对一切 n，a_n >= L）；序列有界当且仅当它既有上界又有下界。

有界性是关于序列的两个最深刻结果的守门人。每个收敛序列都自动有界，这使有界性成为收敛的一项快捷必要检查。而由波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理，每个有界实序列——哪怕剧烈振荡——都至少有一个收敛子序列。但要当心：仅凭有界并不给出收敛，正如 (-1)^n 所示。