有界集

有界集是能装进一个有限窗口的集合：存在一道左墙和一道右墙，整个集合都住在它们之间。集合中没有任何元素跑向正无穷或负无穷。

确切地说，若实数集 S 既有上界又有下界，即存在数 m 与 M 使对每个属于 S 的 x 都有 m 至多为 x，x 至多为 M，则称 S 有界。一个等价的单一条件是：存在数 R 使对所有属于 S 的 x 都有 |x| 至多为 R，于是整个集合都落在从负 R 到 R 的区间之内。

有界性是贯穿分析的常见假设。由完备性，非空有界实数集自动既有上确界又有下确界；有界单调序列收敛；并且由波尔查诺－魏尔斯特拉斯定理，每个有界序列都有收敛子列。有界性往往正是阻止逃向无穷的那个条件。

请注意：有界不等于有限，也不等于闭。从 0 到 1 的区间有界却无限，从 0 到 1 的开区间有界却不闭。在直线上，正是“有界且闭”这一组合才给出紧致性。