海涅–博雷尔定理

海涅–博雷尔定理是抽象的、基于覆盖的紧性定义与我们从微积分中带来的具体图景之间的桥梁。它说，在普通的欧几里得空间里，那个难以捉摸的条件“每个开覆盖都有有限子覆盖”，简化为你一眼就能验证的两件事：集合是闭的，且是有界的。

确切地说：R^n 的子集是紧的当且仅当它既闭且有界。于是闭圆盘、闭球、球面、或区间 [a, b] 都是紧的；而开区间（它不闭）、整条直线（它无界）、或整数集（闭但无界）则不是。

该定理是有限维欧几里得空间所独有的——它真正的内容在于困难的方向，即“既闭且有界”逼出有限子覆盖性质。在一般度量空间中，闭且有界是必要而非充分的：无穷维巴拿赫空间的闭单位球既闭且有界，却出名地不紧。所以切勿把“紧 = 既闭且有界”推广到 R^n 之外；正确的一般判据是（在完备空间中）闭且全有界。