紧空间

紧性是拓扑学中“有限”的替代品。有限集极其温顺——其上任何函数都取得最大值，任何覆盖都能削减到几个集合——而紧性为无穷空间制造出同样的便利。闭区间 [0, 1] 尽管有不可数多个点，却在许多方面表现得像有限集，而开区间 (0, 1) 则不然。

其定义用到覆盖。空间 X 是紧的，如果 X 的每个开覆盖都有有限子覆盖：只要一族开集合起来覆盖 X，其中便已有有限多个覆盖 X。这个“总能只用有限多个对付过去”的条件出人意料地强，是紧性现代的、纯拓扑的定义。

紧性有惊人的推论。紧空间上的连续实值函数取得其最大值与最小值（极值定理）；紧空间的连续像是紧的；豪斯多夫空间的紧子集是闭集；从紧空间到豪斯多夫空间的连续双射自动是同胚。诚实起见须加一句告诫：在一般拓扑空间中，紧性与序列紧性是不同的概念，仅在诸如可度量化等额外假设下才一致。