序列紧

序列紧用序列而非覆盖的眼光来刻画紧性：无论你如何在空间中游走、一步接一步，你总能沿着自己步伐的某个无穷子集停驻下来，逐渐收拢到唯一的一点。任何东西都无法逃逸到无穷远、或漏进某个洞里，因为总有某个子序列被迫收敛。

严格地说，空间 X 是序列紧的，如果 X 中的每个序列都有一个收敛到 X 中某点的子序列。这是分析学家最先遇到的紧性形态，因为它恰是波尔查诺–魏尔斯特拉斯定理用于 R^n 的闭有界子集时所得的结论。

在一般拓扑空间中，序列紧与（覆盖）紧在逻辑上彼此独立——不加额外假设，谁都不蕴含谁。调和二者的是度量空间：在度量空间中两者重合，那里紧、序列紧、极限点紧三者意义相同。因此微积分里宽松的口号“紧即每个序列有收敛子序列”，恰在你通常使用它的场合为真，却并非完全一般情形下紧性的定义。