度量空间

度量空间无非是一堆点，再配上一条测量它们之间距离的规则。一旦你能说出两样东西相距多远，海量的分析便随之而来：你可以谈论点的接近、序列的收敛、集合的开或闭，而完全无需提及坐标或面积公式。

严格地说，度量空间是一对 (X, d)，其中 X 是集合，d 是 X 上的度量。同一个底层集合通过选取不同的度量可以变成不同的度量空间，所以严格而论度量是数据的一部分，而非附属品。X 的点不必是数——它们可以是函数、序列、矩阵或几何图形，只要定义了合理的距离即可。

度量空间是微积分中那些 epsilon 论证的自然归宿，并远远超出实数轴。我们熟悉的命题——若对每个 epsilon > 0 最终都有 |x_n - L| < epsilon 则 x_n 收敛到 L——只需把 |x_n - L| 换成 d(x_n, L)，便逐字成为度量空间中收敛的定义。这正是度量空间从普通微积分通向抽象分析的桥梁。