度量空间中的收敛

当一个序列的各项最终随你所愿地紧挨着某点并停留在那里时，它就收敛于该点。度量空间中的收敛与实数轴上是同一个想法，只是把绝对值换成了距离 d，于是这一概念原封不动地搬到函数空间、向量空间或任何带有度量的空间。

确切地说，度量空间 (X, d) 中的序列 (x_n) 收敛到极限 L，如果对每个 epsilon > 0 存在 N，使得当 n >= N 时 d(x_n, L) < epsilon。等价地，实数序列 d(x_n, L) 趋于 0。这一条件恰好是把 |x_n - L| 换成 d(x_n, L) 后的 epsilon-N 收敛定义。

只要空间是真正的度量空间，极限就是唯一的，因为若一序列同时逼近两个极限 L 与 L-prime，则三角不等式将迫使 d(L, L-prime) <= d(L, x_n) + d(x_n, L-prime) -> 0，故 L = L-prime。要紧的是，一个序列是否收敛可能取决于所用的度量：同一列函数在一种距离观念下收敛，在另一种下却可能发散。