完备度量空间

完备度量空间是没有任何空洞的空间：每当一个序列挤得如此紧密，以致它的各项彼此任意接近时，那里实际上就有一个点正等着它去收敛。任何本该有极限的东西都不会被遗弃。

严格地说，度量空间 (X, d) 称为完备的，如果 X 中每个柯西序列都收敛到 X 中的某点。柯西序列是各项最终聚拢的序列：对每个 epsilon > 0 存在 N，使得当 m, n >= N 时 d(x_m, x_n) < epsilon。完备性断言这种内部的收紧足以保证空间内部确有一个极限。

实数 R 是完备的——这正是微积分得以运转的原因——但有理数 Q 不是：逼近 pi 的十进制序列 3, 3.1, 3.14, 3.141, ... 在 Q 中是柯西序列，却没有有理极限，因为 pi 是无理数。因此完备性并非理所当然；它是一条强而有价值的性质，也正是完备化所修补的对象。