完备化

度量空间的完备化填平它的空洞。你拿来一个缺失极限的空间——其中有些序列挤拢却在内部无所收敛——然后正式地恰好补上它们所够向的那些点，造出一个完备空间，把原空间作为忠实而稠密的副本含于其中。

确切地说，度量空间 (X, d) 的完备化是一个完备度量空间 (X-hat, d-hat)，连同一个把 X 嵌入 X-hat 的等距嵌入，其像是稠密的。这样的完备化总是存在，且在等距意义下唯一。一种标准构造是把新的点取为 X 中柯西序列的等价类，其中两个柯西序列被视为同一，当对应项之间的距离趋于 0。

最著名的完备化是有理数的完备化：在通常度量下完备化 Q 便得到实数 R。原空间稠密地坐落在它的完备化之中，故每个新点都是旧点的极限；在此意义下，完备化并未添加任何未被逼近过的东西，它只是补上了曾经缺失的极限。