巴拿赫空间

巴拿赫空间是没有空洞的赋范向量空间。范数给你度量距离的方法，而完备性保证任何各项彼此挤得任意接近的序列都确实有一个落在空间内部的极限。这与把（满是缝隙的）有理数升级成实数是同一种操作，只不过现在施加在函数、序列或算子构成的空间上。

严格地说，巴拿赫空间是一个赋范向量空间 (V, ||·||)，它在度量 d(x, y) = ||x - y|| 下作为度量空间是完备的：V 中每个柯西序列都收敛到 V 中的一点。完备性正是让你能把对象构造为极限——微分方程的解、压缩映射的不动点、函数无穷级数之和——并确信极限确实在你期望之处存在的关键。

分析学家关心的大多数空间都是巴拿赫空间：上确界范数下的连续函数 C[a, b]、勒贝格空间 L^p（1 <= p <= 无穷）、序列空间 l^p。一个不完备的赋范空间总可以扩充为它的完备化，即一个巴拿赫空间，原空间作为稠密子集嵌入其中。[0, 1] 上上确界范数下的多项式并不完备；由魏尔斯特拉斯逼近定理，它们的完备化恰好就是 C[0, 1]。