泛函分析
赋范向量空间
设想你想做的不是平面上箭头的几何，而是以整个函数或无穷序列作为“点”的几何。要起步你只需一样东西：一种度量每个这种对象有多长的方法。赋范向量空间正是一个向量空间，配备了这一件装备——一个范数，记作 ||x||，它以协调一致的方式给每个向量赋予非负的长度。
严格地说，赋范向量空间是一个实数或复数域上的向量空间 V，连同一个函数 ||·|| : V -> [0, 无穷)，满足三条公理：||x|| = 0 当且仅当 x = 0；对每个标量 c 有 ||c x|| = |c| ||x||（齐次性）；以及 ||x + y|| <= ||x|| + ||y||（三角不等式）。由范数可定义距离 d(x, y) = ||x - y||，于是每个赋范空间自动成为度量空间，收敛与连续等概念也随之而来。
两点提醒。第一，范数是真正额外的结构：同一个底层向量空间可以带有许多互不等价的范数，而在无穷维中它们未必给出相同的收敛序列。第二，赋范空间未必完备——柯西序列可能不收敛。完备的赋范空间被赋予一个专门的名字：巴拿赫空间，而正是完备性使分析学的大部分内容得以运作。
在 R^2 上欧几里得范数为 ||(x, y)|| = sqrt(x^2 + y^2)，但 ||(x, y)||_1 = |x| + |y| 与 ||(x, y)||_inf = max(|x|, |y|) 也都是范数。它们的单位球分别是圆盘、菱形和正方形——形状不同，然而在二维中它们全都等价。
三种范数，三种单位球形状，在有限维中是同一个等价类。
在有限维中所有范数都等价，因此拓扑与收敛概念不依赖于所选的范数。这一便利的事实在无穷维中彻底失效，而这正是泛函分析比线性代数更难也更有趣的原因。
又称
另见