范数
范数是“向量长度”的抽象概念。它把一支箭头除了从原点伸出多远之外的一切都剥离，并以尊重缩放与三角几何的方式做到这一点。一旦有了范数，你就能谈论大向量与小向量、两个向量有多接近、以及一个序列是否稳定下来——微积分的全部机器在远比数更奇异的对象上重新出现。
确切地说，向量空间 V 上的范数是一个函数 ||·|| : V -> [0, 无穷)，具有三条性质：正定性，||x|| = 0 当且仅当 x = 0；绝对齐次性，对每个标量 c 与向量 x 有 ||c x|| = |c| ||x||；以及次可加性，对所有 x, y 有 ||x + y|| <= ||x|| + ||y||。最后一条是三角不等式的化身，它保证 d(x, y) = ||x - y|| 表现得像一个真正的距离。
若舍弃 ||x|| = 0 必导致 x = 0 这一要求，你便得到半范数，它可以给非零向量赋予零长度；半范数有用，但不能分离点。范数是那个特殊的、能分离点的情形，它恰是构建关于大小与逼近的清晰理论所需的结构。
在连续函数空间 C[0, 1] 上，上确界范数 ||f|| = [0, 1] 上 |f(x)| 的最大值是一个真正的范数：||f|| = 0 迫使 f 处处为零，缩放提出 |c|，且 max|f + g| <= max|f| + max|g|。取 f(x) = x 与 g(x) = 1 - x，则 ||f|| = ||g|| = 1 而 ||f + g|| = 1 <= 2，体现了次可加性。
连续函数上的上确界范数，将三角不等式具体化。
由三条公理可推出反向三角不等式 | ||x|| - ||y|| | <= ||x - y||，它表明范数本身是一个连续函数。范数的连续性被反复使用，例如把极限移入 ||·|| 之内。