上确界范数

若你想用一个数字概括“一个函数有多大”，上确界范数给出最悲观的答案：函数取绝对值后所达到的最高高度。两个函数在这个范数下“接近”，恰当它们的图像在任何地方都不会拉开太远——不是平均意义上，而是在最糟糕的那一点上。

形式上，对集合 E 上的有界函数 f，上确界范数为 ||f|| = sup 关于 x 属于 E 的 |f(x)|。它是真正的范数：||f|| >= 0 且仅对零函数取等号，||c f|| = |c| ||f||，并且三角不等式 ||f + g|| <= ||f|| + ||g|| 成立。在紧定义域上，连续函数的上确界可以取到，于是“sup”变为“max”，||f|| 就是函数的峰值绝对值。

上确界范数的要点是：它把一致收敛转化为某个赋范空间里的普通收敛——f_n 在 E 上一致收敛到 f，当且仅当 ||f_n - f|| -> 0。正是这种重新表述，使我们能把有界（或连续）函数全体当作度量空间来处理，从而搬来完备性、柯西序列和极限的全套工具。