函数序列与级数
一致收敛
逐点收敛允许每个点按自己的节奏走；一致收敛却要求它们齐步前进。想象在极限函数 f 周围画一条半宽为 epsilon 的管子。一致收敛是说：从某个下标 N 起，f_n 的整张图像都落在那根管子里——定义域上没有任何一点被允许探出去。一个界、一个 N，整个定义域一齐满足。
确切地说：f_n 在 E 上一致收敛到 f，是指对每个 epsilon > 0，都存在 N（仅依赖于 epsilon，而不依赖于 x），使得当 n >= N 时对所有 x 属于 E 都有 |f_n(x) - f(x)| < epsilon。等价地，关于 x 取上确界的 sup |f_n(x) - f(x)| 随 n -> infinity 趋于 0。这个度量最坏情形差距的单一数值，就是 f_n - f 的上确界范数。
一致收敛是分析学的主力假设，因为它把良好性质传递给极限：连续函数的一致极限仍连续，可以逐项积分，并且（在导数满足额外假设时）可以逐项微分。代价是它确实比逐点收敛更强，即便逐点收敛完美成立，一致收敛也可能失败。
取 [0,1] 上的 f_n(x) = x^n。逐点极限不连续，故它不可能是连续函数的一致极限；事实上对每个 n，在 [0,1) 上 sup |x^n - 0| = 1，永不缩小。但在固定的 a < 1 的区间 [0, a] 上，sup |x^n| = a^n -> 0，于是 f_n 在那里一致收敛到 0。同一个序列，在较小的集上一致收敛，在整个集上则不然。
一致性依赖于定义域：x^n 在 [0,a]（a<1）上一致，但在 [0,1) 上不一致。
快速判否：若 sup |f_n(x) - f(x)| 不趋于 0，则收敛不是一致的。这一个计算就能立刻解决大多数课本例子。
另见