函数序列与级数
逐点收敛
想象一整支函数大军 f_1, f_2, f_3, ……，你希望说它们安定下来收敛到某个极限函数 f。最省力的检验办法是：站在某一个输入 x 上把它固定住，盯着数列 f_1(x), f_2(x), f_3(x), ……看。如果这串数收敛到 f(x)，你就赢得一个点——真的就是一个点。逐点收敛的意思就是你在每一个 x 处都赢，但每个 x 各自独立受审，点与点之间毫无协调。
确切地说：定义在集合 E 上的函数序列 f_n 逐点收敛到 f，是指对 E 中每一个 x，实数列 f_n(x) 都收敛到 f(x)。用量词写清楚：对每个 x 和每个 epsilon > 0，都存在 N（它可以同时依赖于 x 和 epsilon），使得当 n >= N 时 |f_n(x) - f(x)| < epsilon。关键短语是“可以依赖于 x”：不同的点允许以截然不同的速度收敛。
人人都会栽跟头的诚实警告：逐点收敛几乎保不住你在意的任何性质。连续函数可以逐点收敛到一个不连续的极限；f_n 的积分与导数也未必趋向 f 的积分与导数。正是这种脆弱性，催生了一致收敛——在那里同一个 N 对所有 x 一齐生效。
在 [0,1] 上令 f_n(x) = x^n。当 x < 1 时 x^n -> 0；当 x = 1 时 x^n = 1 -> 1。于是 f_n 逐点收敛到这样的 f：在 [0,1) 上为 0，在 x = 1 处为 1。每个 f_n 都连续，极限却出现跳跃——这是仅有逐点收敛时连续性失效的生动例子。
[0,1] 上的 x^n：连续的项，不连续的逐点极限。
逐点收敛是最弱的自然概念：一致收敛蕴含它，反之不成立。当你看到不带限定语的“f_n -> f”时，由上下文判断指哪一种——分析学家通常会明确标出一致收敛。
又称
另见