函数序列与级数
极限函数
当一列函数收敛时，其归宿本身是一个函数——极限函数。这里不是用单个数作为数列的极限，而是用整整一个函数 f 作为函数序列 f_n 的极限。它是逐值搭建的：在每个输入 x 处，取 f_n(x) 的普通数值极限。
定义：若 f_n 在 E 上逐点收敛到 f，则极限函数为 f(x) = lim_{n->infinity} f_n(x)，对每个 x 属于 E 逐值定义。对级数而言，极限函数是和 s(x) = lim_{N->infinity} sum_{n=1}^N f_n(x)，即部分和的极限。无论收敛是逐点的还是一致的，所得的 f 都相同；收敛的方式丝毫不改变 f 是哪个函数，只改变 f 在多大程度上继承 f_n 的良好性质。
整个课题就是研究极限函数继承了什么。仅在逐点收敛下，f 可能是个狂野的对象——不连续、不可积，或具有“错误的”积分与导数。在一致收敛下，f 继承连续性，并（小心起见）继承可积性与可微性。所以当你遇到一个极限函数时，第一个问题永远是：f_n 是以何种意义收敛到它的？
在 [0, 1] 上令 f_n(x) = nx/(1 + n^2 x^2)。对每个固定的 x > 0，f_n(x) -> 0；又 f_n(0) = 0。故极限函数恒为 f(x) = 0。然而对所有 n 都有 f_n(1/n) = 1/2，于是图像始终有一个高度 1/2 的凸包，向左滑向 0——收敛到零极限函数是逐点的，而非一致的。
滑动的凸包：逐点极限为 0，但凸包永不缩小。
另见