收敛

收敛是序列可能拥有的好命运：它的各项朝着唯一一个有限的归宿安顿下来并停留在那里。可以想象一段嘈杂的电台信号逐渐调准，直到你听见一个清晰的音——杂音渐渐消退，一个确定的值浮现出来。

准确地说，若序列具有（有限的）极限，即存在实数 L 使得 a_n -> L，则称该序列收敛。收敛的序列称为收敛序列，不收敛的称为发散序列。注意对“有限”的坚持：按标准约定，一个奔向无穷的序列即使行为十分规整，也不算收敛。

收敛是序列尾部的性质，而非任何有限段初始项的性质：改变、删除或插入有限多项既不能制造也不能破坏收敛，更不能改变极限。这正是分析学家常说某事“对一切充分大的 n”成立的原因——前一千项或前十亿项与序列是否收敛毫不相干。