上确界

集合的上确界是它可能达到的最紧的天花板。在所有从上方界住该集合的数中，上确界是最小的那个，是这样一道天花板：再往下压一丝，就会有某个元素冒出来。

形式上，若满足两个条件，则称数 s 为 S 的上确界，记作 sup S：s 是 S 的上界，且没有比 s 更小的数是上界。第二个条件可以更有用地重述为：对每个正数 epsilon，S 中都有某个元素超过 s 减 epsilon。所以上确界可被集合中的成员从下方任意逼近。

上确界既可能属于集合，也可能不属于。对从 0 到 1 的闭区间，上确界是 1，它在集合中；对从 0 到 1 的开区间，上确界仍是 1，它不在集合中。当上确界确实属于集合时，它同时就是最大值。

“每个非空且有上界的实数集都确实有上确界”这一深刻事实，就是最小上界性质，正是它使实数完备。有理数不具备这一性质：平方小于 2 的有理数集合有有理数上界，却没有有理数的最小上界，因为那道自然的天花板，即二的平方根，是无理数。