最大值与最小值

集合的最大值是它唯一最大的成员，最小值是它唯一最小的成员，前提是这样一位冠军确实属于该集合。最大值是恰好被取到的上确界；最小值是被取到的下确界。

确切地说，若 M 属于 S 且对每个属于 S 的 x 都有 x 至多为 M，则 M 是 S 的最大值；最小值按镜像方式定义。与上确界、下确界的关键区别在于是否属于集合：上确界无论是否落在集合中都是最小上界，而最大值必须是货真价实的元素。所以即便上确界存在，集合也完全可能没有最大值。

从 0 到 1 的开区间清楚地展示了这一差异：它的上确界是 1，下确界是 0，却既无最大值也无最小值，因为两个端点都未被包含。相比之下，从 0 到 1 的闭区间有最大值 1 与最小值 0。

在一些重要情形下，极值的存在是货真价实的定理。最值定理保证闭有界区间上的连续函数既取到最大值又取到最小值，这一事实牢牢依赖于完备性，在有理数上就会失效。