极值定理

在一段有限的、封闭的路程上,连续起伏的地貌有一个真正的最高点和一个真正的最低点——不仅是它逼近的高度,而是它真正到达的高度。极值定理保证:闭有界区间上的连续函数必定取到真正的最大值与最小值。

确切地说:若 f 在闭且有界的区间 [a, b] 上连续,则存在 c、d 属于 [a, b],使得对所有 x 属于 [a, b] 都有 f(c) <= f(x) <= f(d)。函数首先是有界的(有界性定理),进而其值的上确界与下确界不只是被逼近,而是真正被取到。

每一个前提都不可或缺。去掉闭性:f(x) = x 在开区间 (0, 1) 上既无最大值也无最小值。去掉区间的有界性:f(x) = x 在 [0, 无穷) 上没有最大值。去掉连续性:在 [0, 1] 上带跳跃的函数可能取不到它的上确界。拓扑中的简洁陈述是:连续实函数在任何紧集上都取到极值。