有界性定理

若你沿一条连续的路径走过一片有限的、围起来的田地,你不可能爬到无限高——地形始终落在某个最高与最低海拔之间。有界性定理把这件事精确化:闭有界区间上的连续函数绝不会奔向无穷;它的值被困在两堵有限的墙之间。

确切地说:若 f 在闭且有界的区间 [a, b] 上连续,则 f 有界——存在一个数 M,使得对所有 x 属于 [a, b] 都有 |f(x)| <= M。这是通往极值定理之路的前半程,极值定理把“有界”加强为“取到其界”。

两个前提缺一不可。在半开区间 (0, 1] 上,连续函数 f(x) = 1/x 无界;闭性在 0 处失效。在无界区间 [0, 无穷) 上,f(x) = x 无界;区间没有右墙。它成立的深层原因是紧性:紧集的连续像仍是紧集,因而有界——区间闭且有界,恰恰使它在实直线上成为紧集。