完备性公理

完备性公理断言实数轴是密实的，没有任何本应有数却空缺的位置。正是它把仅仅满足算术运算的实数变成一个连续统，使极限、导数和积分得以栖居其上。

对有序域而言，表述完备性有若干等价方式。最常见的是最小上界性质：每个非空且有上界的集合都有上确界。等价的表述还包括：每个柯西序列都收敛、每个有界单调序列都收敛、嵌套的闭区间有公共点、每个戴德金分割都由某个数实现。在阿基米德有序域上，这些说的是同一件事。

完备性正是有理数所缺、实数所补的东西。它不是域公理或序公理的推论，必须额外添加。在重新标号的意义下，实数是唯一的完备有序域，所以完备性连同“是有序域”这一点，就把实数完全确定下来。

一个微妙的提醒：单凭柯西完备性、而不假定阿基米德性质，要弱于最小上界完备性。只有当你同时假定这条直线没有无穷大或无穷小元素时，两者才一致。