区间套定理

设想一列无穷无尽的闭区间，每一个都套在前一个之内，像层层嵌套的盒子向目标收拢。区间套定理保证：总有至少一个点同时被困在每个盒子里，所以这些盒子绝不会收拢到空处。

确切地说：若 I_1 包含 I_2，I_2 包含 I_3，依此类推，其中每个 I_n 都是闭的有界区间，则所有 I_n 的交集非空。若区间长度还趋于零，则交集是单独一个点，且该点是两端点序列共同的极限。

此定理是完备性的等价面貌之一；在实数上它由最小上界性质推出，取左端点的上确界作为那个公共点。它是许多存在性证明背后的引擎，例如介值定理的二分证法和波尔查诺－魏尔斯特拉斯定理的一种证明。

有两个假设至关重要，不可舍弃。区间必须是闭的：从 0 到 1 除以 n 的开区间彼此嵌套且收缩，交集却是空的，因为本应充当公共点的 0 被每个区间排除在外。区间还必须有界：从 n 到无穷的射线彼此嵌套，却没有公共点。