波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理

这条定理是关于拥挤的一个承诺。若你撒下无穷多个点却把它们全都困在数轴的一段有限范围内，它们就没有空间永远散开；总得在某处挤作一团。从任何这样的有界序列中，你总能抽出一个聚向单一点的子序列。

确切地说：每个有界实数序列都至少有一个收敛子序列。那个子序列的极限必定是原序列无穷多次任意逼近地反复造访的点——一个聚点。序列本身不必收敛；定理只承诺其中藏着一个性状良好的子序列。

波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理是分析学的基石，其强度等价于实数的完备性，并且支撑着全学科中的紧致性论证——极值定理、闭有界集的序列紧致性以及海涅-博雷尔定理的证明都依赖于它。一个标准证明反复把区间二等分，每次保留含无穷多项的那一半，造出一族其公共点即为子序列极限的嵌套区间。