聚点

集合的聚点是该集合簇拥环绕的一个点:无论你放大得多么紧,总能在附近找到该集合的其他成员挤作一团。它是一个你可以用集合中的点悄悄逼近的位置,能任意靠近,却始终无须真正落在其上。

确切地说,p 是集合 S 的聚点,是指 p 的每个邻域都至少包含一个不同于 p 自身的 S 中的点——等价地说,每个区间 (p - r, p + r) 都与 S 相交于某个异于 p 的点。一个等价的序列表述:存在 S 中一列全异于 p 的点 x_n,使得 x_n -> p。点 p 可能属于 S,也可能不属于。

聚点恰好是对函数取极限有意义的地方:lim_{x->a} f(x) 只在 a 是定义域的聚点时才有定义,这样才真的有任意靠近 a 的输入可供趋近。它们与孤立点正相反——集合中的一个点要么在其中孤立,要么是它的聚点,绝不会两者兼是。