孤立点

集合的孤立点是一座孤零零的前哨——它是集合的成员,周围却是空旷一片,附近再没有该集合的其他点。你能围着它画一个小圆,而圈不住集合里的任何别的点。

确切地说,集合 S 的点 p 是孤立点,是指存在某个半径 r > 0,使得 S 中与 p 距离小于 r 的点只有 p 自身:邻域 (p - r, p + r) 与 S 的交集恰为 {p}。等价地说,p 属于 S 但不是 S 的聚点——没有由 S 中其他点构成的序列趋近它。

孤立点对连续性有一种悄然重要的意义:函数在其定义域的每个孤立点处自动连续,无须证明。那里没有可供比较的邻近行为,因此 ε-δ 条件平凡地成立(任何足够小的 δ 都把该点孤立出来)。这正是为什么连续性的实质内容完全寄居于聚点之上。