函数的极限

想象你正走向一扇门口。函数的极限就是当你的输入越来越靠近某个目标点时,你的取值正在趋向的那个位置——即使你永远没能真正到达,即使那扇门本身是锁着的(函数在目标点可能没有定义,或取了别的值)。极限只关心趋近的过程,而从不关心目的地本身。

确切地说,当 x 趋近 a 时 f(x) 的极限为 L,记作 lim_{x->a} f(x) = L,意思是:只要取 x 充分靠近 a(但不等于 a),就能迫使 f(x) 任意地接近 L。点 a 不必属于 f 的定义域,但它必须是定义域的聚点,这样才有任意靠近 a 的输入可供趋近。

一条微妙却关键的规则:函数值 f(a) 与极限无关。设 g(x) = x,又设 h(x) 在 x 不等于 0 时取 x、在 0 处取 7,则当 x -> 0 时二者的极限都是 0,尽管 h(0) = 7。正因如此,定义连续性、导数与积分时所依据的才是极限而非函数值。