单侧极限

有时函数像台阶或海岸线那样:从左边趋近某点会通向一处,从右边趋近却通向另一处。单侧极限只考察一个方向的趋近,而不理会另一侧发生了什么。

右极限 lim_{x->a+} f(x) = L 要求:只要 0 < x - a < δ 就有 |f(x) - L| < ε——也就是 x 只从大于 a 的一侧趋近 a。左极限 lim_{x->a-} f(x) 是它的镜像,条件改为 -δ < x - a < 0。两者都是限制在一侧的普通 ε-δ 极限。

双侧极限存在当且仅当两个单侧极限都存在且相等,此时它们的公共值就是该极限。当单侧极限都存在却不相等时,函数在 a 处有跳跃间断。在区间端点处,单侧极限也是最自然的概念,因为那里只能从区间内部趋近。