间断

间断就是笔必须离开纸面之处——定义域中某一点,函数顺畅的流动在此断裂。某处出了岔子:也许函数跳跃,也许有个洞被填上了错误的值,也许它剧烈振荡,或冲向无穷。

确切地说,f 在其定义域的点 a 处间断,是指它在该处不连续:lim_{x->a} f(x) 要么不存在,要么存在却不等于 f(a)。间断按连续性失效的严重程度分类。若两个单侧极限都存在(且有限),则为第一类间断——或为可去间断(极限相等却错过 f(a)),或为跳跃间断(极限不相等)。否则为第二类间断,即至少有一个单侧极限不存在。

一个老实的提醒:“间断”只在真正属于定义域的点上才有意义。函数 1/x 并非在 0 处间断;0 不在它的定义域内,根本谈不上间断。函数发生跳跃的点集可能大得出人意料——单调函数可以有无穷多个跳跃,不过始终只是可数无穷多个。