可去间断

想象一条光滑曲线上有个针尖大的洞,或某个点被挑起来放错了地方。可去间断正是这种无害的瑕疵:只要在那一个点上重新定义,函数就会连续。修复只需付出一个值的代价。

形式上,f 在 a 处有可去间断,是指 lim_{x->a} f(x) 存在(为有限值 L),但 f 在该处不连续——或因 f(a) 没有定义,或因 f(a) 有定义却不等于 L。重新定义 f(a) := L,便得到一个在 a 处连续的函数,从而“去掉”了间断。

这是连续性失效中最温和的一类,是一种第一类间断,其中两个单侧极限都存在且相等。化简像 (x^2 - 1)/(x - 1) 这样的表达式时所填补的每一个“洞”,背后都是这种情形:该代数式在 x = 1 处没有定义,但那里的极限是 2,填入值 2 即可弥合。